PENDUGAAN INTERVAL (ESTIMASI)

ya guys kembali lagi dengan blog gua .. btw thanks ya yang sudah suport dan memberikan motivasi serta banyak yang membaca, jadi smngt nih gua buat bikin blog lagi mengenai pelajaran statistik. Yasudahlah gak usah pake lama yuk kita bahas Pendugaan Interval (Estimasi). sebelum bahas ini adakala kita mengulang materi sebelumnya yaitu DISTRIBUSI SAMPLING. 

Distribusi Sampling
Sampling dilakukan untuk jumlah populasi yg besar, contohnya : Contohnya, sebuah lembaga survey melakukan polling menjelang hari pemilu di Indonesia (mengambil sekitar 1.500 s/d 2.000 pemilih sebagai sampel untuk diteliti). Selanjutnya, hasil analisis terhadap sampel tersebut digunakan untuk menduga populasi. Misalnya dari sampel diketahui 45% memilih Prabowo, dan 55% memilih Jokowi, maka kedua angka tersebut merupakan penduga untuk proporsi populasi pemilih di Indonesia yang memilih Prabowo dan Jokowi. Bukti empiris menunjukkan bahwa dari 13 kali pemilihan presiden di Indonesia, hanya sekali lembaga survey membuat kesalahan prediksi.

nah sekarang kita masuk ke materi 

Ciri-ciri suatu penduga yang baik adalah :

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA

Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya tingkat keyakinan, yang diberi simbol 1 – a. Umumnya, tingkat kepervayaan yang digunakan adalah 90%, 95%, dan 99%.
Berdasarkan Dalil Batas Memusat, pernyataan probabilitas dapat dituliskan sebagai berikut.

Misalnya, batas bawahnya diberikan 2,5 dan batas atasnya 3,5 dengan . maka ( ) , menunjukkan adanya probabilitas sebesar 90% bahwa pada
interval 2,5 dan 3,5 akan memuat nilai rata-rata populasi yang sebenarnya yaitu Kesalahan yang mungkin terjadi, probabilitasnya adalah 10%. Artinya, kemungkinan interval tersebut tidak memuat , artinya bisa lebih kecil dari 2,5 atau lebih besar dari 3,5. Penyusunan interval keyakinan ditentukan oleh bentuk distribusi sampling dan diketahui atau tidaknya standar deviasi populasi .
Ada tiga rumus pendugaan interval rata-rata

Untuk mengetahui distribusi mana yang akan digunakan bagi pendugaan interval, perhatikan skema 1

̅

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK DUA RATA-RATA

Dirumuskan sbb :

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK SATU PROPORSI

Proporsi sampel adalah penduga tak bias terhadap proporsi populasi. Jika ukuran sample cukup besar yaitu np maupun n(1-p) lebih besar 5, dimana P adalah proporsi populasi, maka distribusi sampling proporsi akan mendekati dikstribusi normal dengan rata-rata p dan stardar deviasi proporsi :

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK DUA PROPORSI
Misalkan dan adalah dua proporsi sampel dari dua populasi dengan distribusi sampling masing-masing mendekati distribusi normal, maka pendugaan interval selisih proporsi dua populasi yang merupakan sumber pengambilan sampel, dirumuskan sbb :

DISTRIBUSI SAMPLING

ya guys kembali lagi dengan blog gua .. btw thanks ya yang sudah suport dan memberikan motivasi serta banyak yang membaca, jadi smngt nih gua buat bikin blog lagi mengenai pelajaran statistik. Yasudahlah yuk kita bahas Distribusi Sampling, sebelum bahas ini adakala kita mengulang materi sebelumnya Distribusi Probabilitas. Distribusi  Probabiltas sangat dibutuhkan, karena kebenaran dari suatu kesimpulan yang dibuat dari analisis data sebetulnya tidak dapat dipastikan benar secara absolut, disebabkan data berdasarkan dari sampel. Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumnpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Probabilitas kumulatif adalah probalitas dari suatu variabel acak yang mempunyai nilai sama atau kurang dari suatu nilai tertentu. Fungsi distribusi peluang pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu. Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

nah sekarang kita masuk ke materi 
Distribusi Sampling
Sampling dilakukan untuk jumlah populasi yg besar, contohnya : Contohnya, sebuah lembaga survey melakukan polling menjelang hari pemilu di Indonesia (mengambil sekitar 1.500 s/d 2.000 pemilih sebagai sampel untuk diteliti). Selanjutnya, hasil analisis terhadap sampel tersebut digunakan untuk menduga populasi. Misalnya dari sampel diketahui 45% memilih Prabowo, dan 55% memilih Jokowi, maka kedua angka tersebut merupakan penduga untuk proporsi populasi pemilih di Indonesia yang memilih Prabowo dan Jokowi. Bukti empiris menunjukkan bahwa dari 13 kali pemilihan presiden di Indonesia, hanya sekali lembaga survey membuat kesalahan prediksi.

Tujuan mempelajari distribusi sampling adalah sebagai berikut.

^Ø   Memahami perlunya suatu sampling (pengambilan sampel) serta keuntungan-

       keuntungan melakukannya

^Ø   Menjelaskan pengertian sampel acak untuk sampling tanpa pergantian untuk suatu 

       populasi terhingga dan pengambilan sampel untuk populasi tak terhingga

^Ø  Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling 

       dari mean-mean sampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling

^Ø  Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling 

     dari proporsi sampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling 

^Ø  Menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling yang merupakan

      perbedaan atau penjumlahan dari sampel-sampel yang berasal dari dua populasi

Kebutuhan dan keuntungan sampling

Sampling yang baik adalah sampling yang dapat menghemat biaya biaya dan waktu, serta menjaga keakuratan hasil-hasilnya. Secara khusus teknik sampling berguna dalam Estimasi parameter populasi (seperti mean populasi, varians populasi dll.) yang tidak diketahui berdasarkan pengetahuan tentang statistik sampel (seperti mean sampel, varians sampel, dll.) yang berkaitan, menentukan apakah perbedaan yang teramati pada dua sampel adalah benar-benar signifikan (berarti) atau karena variasi yang kebetulan sifatnya.
Metode Penarikan Sampel
1. Penarikan sampel probabilitas :
> Prosedur objektif: probabilitas pemilihan diketahui terlebih dahulu untuk setiap elemen populasi.
> Setiap elemen populasi memiliki probabilitas yang sama sebagai sampel.
> Metode pemilihan acak (random), konsep matematik yang tepat , sehingga setiap elemen dalam populasi memiliki peluang yang sama sebagai sampel.
2. Penarikan sampel non probabilitas:
> Prosedur subjektif, kerangka sampelnya tidak tersedia.
> Setiap elemen populasi tidak memiliki probabilitas yang sama sebagai sampel, dipilih berdasarkan pertimbangan-pertimbangan pribadi.

PROBABILITY SAMPLING
1. Sampling acak sederhana (simple random sampling)
– Baik (bukti empiris yang dihasilkan), representatif
– Populasi terbatas: peluang acak secara individual.
– Populasi banyak dan berkelompok

Sampling acak berstrata disproporsional
• Prinsip sampling disproporsional adalah :
– Semakin besar suatu strata, semakin besar sampel
– Semakin tinggi variabilitas di dalam suatu sampel, semakin besar sampel

2. sampling acak berstrata proporsional (proportioned stratified random sampling) Subsample-subsampel acak sederhana ditarik dari setiap strata yang kurang lebih sama
dalam beberapa karakteristik.

a. Sampling acak berstrata proporsional
Bila populasi mempunyai anggota/unsur tidak homogen dan berstrata secara proporsional. Untuk suatu organisasi yang mempunyai pegawai dengan latar belakang pendidikan berstrata, populasi pegawai itu berstrata. Misalnya, populasi = 1000 (700 orang wanita dan 300 orang pria). Sampel yang diperlukan = 100. Secara proporsional, sampel yang dapat ditarik adalah wanita = 700/1000 * 100 = 70 dan pria = 300/1000 * 100 = 30.
3. Metode sampling berkelompok (cluster sampling)
• Memilih subpopulasi yang disebut klaster, setiap elemen kelompok dipilih sebagai anggota sampel.
• Untuk objek dengan data sangat luas (penduduk Negara, provinsi) samplingnya berdasarkan daerah populasi yang telah ditetapkan.
• Kriteria cluster bertolak belakang dengan apa yang digunakan dalam sampling berstrata.
• Populasi harus dibagi ke dalam kelompok-kelompok yang bersifat mutually exclusive, selanjutnya dipilih secara acak sebagai sampel.

NONPROBABILITY SAMPLING

a. Sampling Sistematik
Berdasarkan urutan anggota populasi (populasi dibagi dengan ukuran sampel yang
diperlukan (n) dan sampel diperoleh dengan cara mengambil setiap subjek ke-n).
Contoh, populasi 100, ukuran sampel 10. Ukuran sampel, 100/10 = 10. Selanjutnya, pilih nomor antara 1 dan 10, misalnya 5. Kemudian pilih yang ke 10, setelah itu hingga 10 dipilih 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.

b. Sampling Wilayah
Sampling klaster dalam suatu wilayah.
Contoh, sebuah stasiun radio melakukan survei profil dan perilaku pendengar radio. Gunakan peta kota, lalu kecamatannya, kelurahan, RW dan RT yang terpilih. Selanjutnya sampel dipilih secara acak dari setiap klaster tersebut.

c. Sampling Kemudahan
Untuk mendapatkan informasi dengan cepat, mudah dan murah. Prosedurnya: langsung menghubungi unit-unit sampling yang mudah dijumpai, seperti mahasiswa di suatu kelas, jemaah tempat-tempat ibadah, rekan-rekan, para tetangga, dll. Sering kali teknik sampling ini dilakukan untuk menguji kuesioner atau digunakan dalam penelitian eksplorasi.

d. Sampling Pertimbangan
Didasarkan pada kriteria-kriteria tertentu.
Misalnya dalam suatu penelitian tentang masalah sumber daya manusia, peneliti mungkin hanya ingin memperoleh informasi dari pegawai-pegawai yang memiliki karakteristik tertentu. Dalam kaitannya dengan sampling pertimbangan dikenal juga sampling ahli (expert sampling) dan sampling bertujuan (purposive sampling). Kendala yang dihadapi dalam penggunaan sampling pertimbangan ini adalah tuntutan adanya kejelian dari peneliti dalam mendefinisikan populasi dan membuat pertimbangannya. Pertimbangan atau judgement harus masuk akal dan relevan dengan maksud penelitian.

e. Sampling Kuota
Bentuk lain sampling pertimbangan, karakteristik-karakteristik tertentu yang relevan yang menjelaskan dimensi-dimensi populasi. Dalam hal ini, distribusi populasi harus diketahui. Misal, sampel sebanyak 1000 orang penduduk kota Bandung. Jika diketahui penyebaran penduduk secara geografis, sampelnya dapat ditarik persentase distribusi yang sama.a, bahkan pada kondisi tertentu, hasil penelitian dapat menyamai hasil penelitian yang dilakukan dengan teknik sampling probabilitas.

Populasi terhingga dan tak tehingga
Populasi terhingga (finite population) adalah populasi yang jumlah seluruh anggotanya tetap dan dapat didaftar. Populasi tak terhingga (infinite population) memiliki anggota yang banyaknya tak terhingga

DISTRIBUSI SAMPLING
Pada modul ini yang dibahas mengenai distribusi sampling digambarkan dalam skema berikut.

Dalil Batas Memusat (The Central Limit Theorem)
Dalam pemilihan sampel acak sederhana dengan ukuran n dari suatu populasi yang berasal dari distribusi apapun (binomial, poisson, dsb), distribusi dari rata-rata sampel dapat didekati dengan distribusi probabilitas normal untuk ukuran sampel yang besar. Beberapa hal penting yang perlu diingat dari dalil tersebut adalah sebagai berikut.

Tidak ada angka yang pasti tentang “ukuran sampel yang cukup besar”, tetapi biasanya angka dianggap cukup besar.

Distribusi Sampling Beda Rata-rata

Distribusi Sampling Proporsi
Misalkan proporsi populasi dinotasikan dengan p = x/n

Dimana  :

Distribusi Sampling Beda Proporsi

okei teman andaikan masih kurang mengerti bisa melihat vidio di bawah ini 

yup sampai disini dulu ya pembahasanya see you nex time 

DISTRIBUSI PROBABILITAS

ya guys kembali lagi dengan blog gua .. dari sekian lama jarang update tugas nah sekarang kita ke materi baru .. pada sebelumnya kita bahas pembahasan KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA

 kita mengulang lagi nih guys apa si itu Korelasi dan Regresi Linier Sederhana.

Pada modul ini, dibahas mengenai korelasi dan regresi linier sederhana. Dikatakan sederhana, karna hanya melibatkan satu variabel independen dan satu variabel dependen. Variabel adalah segala sesuatu yang berbentuk apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari sehingga diperoleh informasi tentang hal tersebut, kemudian ditarik kesimpulannya. Variabel independen adalah variabel yang mempengaruhi suatu yang menjadi sebab perubahannya atau timbulnya variabel dependen (terikat). Sedangkan variabel dependen adalah variabel yang dipengaruhi atau yang menjadi akibat karena adanya variabel independen (bebas).

Jika seorang peneliti ingin mengetahui relasi (hubungan) antar dua variabel atau regresi (pengaruh) variabel independen terhadap variabel dependen, maka harus melakukan prosedur yang dijelaskan setelah ini.

Probabiltas sangat dibutuhkan, karena kebenaran dari suatu kesimpulan yang dibuat dari analisis data sebetulnya tidak dapat dipastikan benar secara absolut, disebabkan data berdasarkan dari sampel. Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumnpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Probabilitas kumulatif adalah probalitas dari suatu variabel acak yang mempunyai nilai sama atau kurang dari suatu nilai tertentu. Fungsi distribusi peluang pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu. Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Variabel random diskrit merupakan suatu variabel random yang hanya dapat memiliki harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan bulat). Variabel random kontinu merupakan suatu variabel random yang dapat memiliki harga dalam suatu interval (tak berhingga banyaknya). Distribusi Peluang merupakan model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau grafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagai frekuensi relatif jangka panjang. Variabel random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R, ditulis : X : S ^ R. Misalnya untuk menjawab persoalan pilihan dua kali terhadap pilihan Benar(B) atau Salah (S), ditulis ruang sampel S = {SS, SB, BS, BB}. Jika X merupakan Variabel Random banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2}

Variabel random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R\

A. Ditribusi probabilitas diskrit

a. Variabel diskrit

Pada variable diskrit setiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, serta peluang diskrit terbentuk bilamana jumlah semua peluang sama dengan satu. Ini dikatakan wajar karena setiap peristiwa pasti memiliki nilai penjumlahan peluang sama dengan satu dari setiap kejadian yang mungkin terjadi.

Variabel diskrit merupakan variable yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung. Variable dari sampel yang diambil dari populasi ini bertujuan untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya.

Variabel diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai X= x₁,x₂,x₃,…..,x_n terdapat

peluang p(x_i) = P(X=x_i) ditulis

Dua Variabel Random

Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatu eksperimen.

Contoh:

Sebuah mata uang logam dilemparkan tiga kali.

X:  banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga

Distribusi peluang untuk dua variabel random disebut sebagai distribusi peluang bersama

B. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi probabilitas teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4.   Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomial

a). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan:

Contoh 7 (Distribusi Binomial)

Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.

Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah muka muncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 dan p = 1/2 dengan distribusi peluang:

C. Distribusi Poisson

Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. Namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu. Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P(X) _ ^{ x e} _{; x  0,1,2,...}

x!

Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson µ == Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n.p.

e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses P = Probabilitas sukses suatu kejadian ! = lambang faktorial

     Distribusi Hipergeometrik

Eksperimen hipergeometrik: dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakasukses sedangkan sisanya N − k dinamakan gagal, sampel berukuran n diambil dari N benda, Cara pengambilan sampel tanpa pengembalian.

  

Misalkan ada sebuah populasi berukuran N diantaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. pertanyaan yang timbul ialah: berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu? Jawabannya ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah ini: 

Contoh 11 (Distribusi Hipergeometrik)

Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran 5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatu eksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadangrusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:

Pendekatan Poisson untuk Binomial :

•      X ~ Binomial(n, p)

•      Bila n besar dan n kecil,

–   Binomial(n, p) → Poisson(λ), dengan λ = np

berikut potongan vidio untuk menambah wawasan kita mengenai DISTRIBUSI PROBABILITAS